6174 EL MISTERIOSO NÚMERO DE KAPREKAR

 El año 1949 el matemático indio Dattatreya Ramchandra Kaprekar (1905-1986), puso al descubierto el misterio y la magia del número 6174, conocido desde entonces como la constante de Kaprekar.

Reordenemos los dígitos del número 6174 en orden decreciente para construir el mayor número posible: 7641 y en orden creciente para obtener el menor: 1467. La diferencia entre estas dos cantidades da como resultado el número de partida: 

7641 - 1467 = 6174

Pero no acaba aquí, esta propiedad especial de nuestro protagonista de hoy es más general. Veremos cómo es capaz de arrastrar a otros números de cuatro cifras al centro de un remolino, absorberlos y aparecer finalmente él como por arte magia.

Elegiremos un número cualquiera de cuatro cifras con la condición de que no sean todas iguales; incluiremos los números de una, dos y tres cifras, colocando a la izquierda respectivamente tres, dos y un cero. En total son 10000 - 10 = 9990.

Una vez elegido nuestro número procederemos con él de la siguiente manera:

1. Reordenamos sus cifras en orden decreciente para obtener  el mayor número posible.

2. Reordenamos sus cifras en orden creciente para obtener  el menor número.

3. Restamos el menor del mayor para construir nuestro segundo número.

4. Si aparece el 6174, hemos acabado, en caso contrario, volvemos a repetir los pasos anteriores para construir nuestro tercer número.

5. En 7 pasos como máximo aparecerá el 6174. 

Hagamos notar que si las cuatro cifras fuesen iguales en un paso finalizaríamos en el 0000.

Ejemplo 1: 3586

Ejemplo 2: 0035

Para practicar os dejo la siguiente hoja de cálculo creada por Miguel Retegi. Introduciremos un número de cuatro cifras en la banda verde, el programa en la primera columna ordenará las cifras en orden decreciente, en la segunda en orden creciente y en la tercera nos calculará la diferencia:

¿No es sorprendente? El proceso de Kaprekar nos lleva en un número finito de pasos, siete o menos, al núcleo o punto fijo 6174. Por esta razón dicha constante es considerada como un número mágico y misterioso.

La constante de Kaprekar puede ser una herramienta didáctica interesante. En primaria nos puede servir para trabajar la resta y autocorregirse si no se obtiene en siete o menos pasos el 6174. En secundaria podríamos adentrarnos en el interior del proceso para investigar por qué funciona y descubrir algún patrón que deje al descubierto el supuesto misterio.

A continuación, plantearemos nuevamente el problema y trataremos de dar una demostración del proceso de Kaprekar:

Demostración

En el último cuadro hemos elegido como representantes aquellos que tienen sus cifras en orden decreciente. Todos ellos desembocan en el núcleo 6174 como máximo en 6 pasos. Cualquier número de cuatro cifras que cumpla las condiciones del enunciado, se relacionará en la primera iteración con uno de estos 30 números, es decir, se transformara en uno de los números de la tabla con sus cifras en el mismo orden u otro orden cualquiera. Una vez calculada la primera diferencia, el proceso seguirá alguno de los caminos que aparecen en el siguiente esquema hasta llegar al 6174. En la penúltima iteración hemos distinguido el caso 7641 para todos los números con estas cifras en cualquier orden exceptuando el caso central 6174.

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